Crear algoritmos a través del cálculo pensado. Episodio 4

«Crear algoritmos a través del cálculo pensado. Episodio 4» es un artículo extraído de la revista Didáctica Primaria N.º 37 (2022).

¿Por qué episodio 4?

Desde marzo del 2022, comenzamos con esta serie donde el foco ha estado en el trabajo con los algoritmos convencionales, con el fin de cargarlos de sentido, vincularlos con el cálculo pensado y con los algoritmos producidos por los niños, apoyados en lo que saben de los números y de las propiedades de las operaciones. En el episodio 1, recorrimos un panorama general de la idea de algoritmo y los vínculos con los documentos curriculares en ambos ciclos. En el episodio 2, nos centramos en el trabajo con la división y, en el episodio 3, el centro estuvo puesto en la adición y la sustracción.

Este episodio 4 pretende dar cuenta de las generalizaciones que se establecen entre los algoritmos convencionales apoyados en el cálculo pensado, con todo lo que este porta. Recordamos brevemente que los algoritmos son generalizaciones construidas y establecidas por la comunidad matemática. También podemos identificarlos como generalizaciones producto, es decir, reglas que funcionan en determinadas situaciones, con sus respectivos alcances y límites. Creemos que una de las grandes dificultades de capturar al algoritmo convencional radica en la forma en que se presenta, y resulta una pérdida de riqueza del proceso de generalización mediante el cual este se genera. El proceso de generalización muchas veces se diluye y solo se focaliza en el producto de forma acabada. De esta manera, el algoritmo se siente ajeno, sin la posibilidad de que el sujeto que está aprendiendo lo interiorice de manera conceptual y vinculado con lo que ya sabe. En esta entrega, por lo tanto, proponemos crear nuevas generalizaciones que profundizan y traslucen ciertas propiedades del Sistema de Numeración Decimal (SND) que se encuentran muchas veces ocultas detrás de los algoritmos convencionales.

Con los cuatro episodios, se intenta dar continuidad y una mirada integral al abordaje de los distintos tipos de cálculo y su vinculación con los algoritmos convencionales que viven en la escuela.

Algunas relaciones que nos importan

Es un campo fértil posicionarnos en un espacio donde se puedan establecer vinculaciones entre los algoritmos convencionales, el cálculo pensado y la creación de nuevos algoritmos. Pensemos en el caso de que en la clase ya viven algunas sumas, como, por ejemplo, las relativas (a + 1), (a - 1), donde a es un número natural, que las relacionamos principalmente con la serie numérica donde 5 + 1 es 6, porque es el que le sigue. En el caso de la sustracción, 5 - 1 es 4, porque es el anterior.

Al hablar de anterior o siguiente, no nos referimos al antes y al después. Al usar los términos anterior o siguiente, hacemos referencia a la idea de anterior que indica: el inmediato anterior, es decir, uno menos que. Sucede lo mismo con la noción de siguiente. Esto se debe a que como el conjunto de los números Naturales es un conjunto discreto, entre dos naturales consecutivos no existe otro. Esa idea de siguiente y anterior es la que se encuentra relacionada de manera genérica con el +1 y -1, respectivamente. De igual forma, podemos establecer la relación con el conocimiento de la serie numérica oral, para que los niños se puedan apoyar en ella con el fin de ofrecer un resultado a los cálculos donde se juega el +1 y el -1, por ejemplo: 5 + 1 o 5 - 1.

Es así que la idea que subyace a las nociones anteriores se puede, a su vez, generalizar cuando pensamos en algunos cálculos, como 54 + 9, que a simple vista parece un cálculo difícil. Lo podemos realizar a través del algoritmo convencional. Sin embargo, al buscar algunas herramientas donde apoyarnos, podríamos pensarla como 54 + 10 y esta es una transformación a una cuenta fácil que oculta también otra generalización. Dejamos a cargo del lector pensar cuál es la generalización posible a construir en los cálculos con +10 o -10. De esta manera, si sabemos que el resultado de 54 + 10 es 64, podríamos capturar cuánto es 54 + 9. Sería 63, porque le sumé uno más al 54. O sea, sumé 10 en vez de 9, entonces, tendría que restar 1 al primer sumando.

¿Qué propiedades implícitas hay en juego?1

54 + 9 = 54 + (10 - 1). Componemos/descomponemos el 9 en 10 - 1.

54 + 10 - 1 = 64 - 1. Tenemos un repertorio de cálculo relacionado al +10 y al -1. Al escribir 64 es que usamos la propiedad asociativa de la adición de manera implícita para realizar el cálculo.

Esta idea de tenemos un repertorio de cálculo relacionado con el +10, ¿qué implica?, ¿qué varía?, ¿en qué se parece al me llevo 1 en la cuenta parada?, ¿para sumar puedo restar?

Es relevante brindar espacios para capturar estas relaciones en el aula, para que convivan los algoritmos convencionales, los repertorios de cálculos apoyados en el Sistema de Numeración Decimal (SND), en la composición y descomposición de números y en las propiedades de las operaciones en juego. Estas ideas las podemos proyectar con otros casos similares, por ejemplo, se puede pensar en: +99, +999, +11, +101, +1001, etc.

Por otro lado, podemos vincular estas ideas con la multiplicación. Por ejemplo, pensar cómo calcular 354 x 9. Podemos ir por el algoritmo convencional o también recorrer un camino similar al propuesto con los cálculos anteriores para, a su vez, cargar de sentido los algoritmos usados y construir nuevos.

Analicemos brevemente el caso planteado:

354 x 9

Si conocemos 354 x 10, podemos establecer puentes conceptuales con 354 x 9. ¿Qué significa 354 x 9? El resultado será una vez menos 354 x 10.

354 x 10 = 354 x (10 - 1)

La vez menos de 354 x 10 se visualiza en el -1. El cual, en este caso, resta 354 a 354 x 10.

Afinando la mirada, ¿qué está en juego?

354 x 9 = 354 x (10 - 1). Está en juego la composición/ descomposición del 9. Nuevamente, la idea de siguiente y de anterior vuelve al ruedo, es decir, el SND está presente.

354 x (10 - 1) = 354 x 10 - 354 x 1. Se apoya en la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la sustracción.

Si conozco el resultado de 354 x 10, tiene sentido pensar la cuenta así, o sea, que el punto de apoyo es nuevamente una cuenta que ya sé, es parte de mi repertorio de cálculo, el que construí, el que poseo y tengo disponible para otros cálculos. Al decir de Vergnaud (1990), al realizar estas cuentas pongo en juego conceptos en acto, teoremas en acto, que sé que me sirven y funcionan. Estos teoremas en acto tienen condiciones, es decir, marcos donde funcionan y donde no. Las podríamos nombrar como generalizaciones en acto.

Ejemplos de actividades para primer ciclo

En esta actividad, se les propone a los alumnos que, por un lado, realicen diversas sumas. Y, por otro lado, que busquen una forma fácil de hacerlas. Estas sumas tienen en común que, en cada una de ellas, uno de los sumandos es el número 9. El objetivo de esta actividad es que los alumnos exploren y construyan una regla para que sumar 9 sea algo fácil.

En una primera instancia, los alumnos realizarán las cuentas, utilizando diferentes estrategias y según la suma que se les plantea. Por ejemplo: para sumar 8 + 9, tal vez puedan hacer 8 + 2 + 7 o simplemente sumar de a uno: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17. En el caso de sumar 15 + 9, pueden pensar en 15 + 5 + 4, porque 15 + 5 es fácil. La idea de que sean sucesivas sumas en las que se sume 9 es encontrar, como dice Carmela, una forma fácil para todas ellas, independientemente del sumando que se plantee.

Pensando ahora en las reglas producidas o posibles procedimientos que desarrollen los estudiantes, podría aparecer:

• sumar 10 al sumando (que no es 9) y luego restarle 1 al número obtenido.
• restar 1 al sumando (que no es 9) y luego al número obtenido sumarle 10.
• descomponer el sumando (que no es 9), de manera de escribirlo con un 1, que luego se sumará al 9, y se obtendrá un 10, para que sea una suma fácil. Por ejemplo: 8 = 7 + 1. Por lo tanto, 7 + 1 + 9 = 7 + 10.

Las diversas formas de realizar una suma rápida están determinadas por estrategias que provee nuestro Sistema de Numeración Decimal de base 10. Es interesante destacar que no todas las estrategias ponen en juego las mismas nociones
matemáticas. Sin embargo, una vez que una de las estrategias anteriores es formulada y puesta a prueba para hacer todas las sumas de forma fácil, podemos establecer que es una regla. La regla es una forma de hacer visible una generalización. Puede ser que la regla aparezca de forma verbalizada, y es interesante escribirla para analizar sus alcances y límites.

Formulaciones de reglas posibles a partir de producciones de una clase de 2do grado de una escuela pública:

«Siempre que se suma 9 a un número es lo mismo que sumarle 10 y restarle 1».

«Si se suma 9 a un número, entonces se le suma 10 y se resta 1».

«Al sumar 9 a un número cualquiera, siempre es igual que sumarle 10 y restarle 1».

Otros alcances de la regla:

«Si a un número le sumas 9, el resultado tendrá una unidad menos que tenía el primer sumando y una decena más de la que tenía el primer sumando».

En términos de la multiplicación, se podría asociar la regla anterior con la que sigue:

«La tabla del 9 sigue la misma regla anterior».

Esta segunda actividad propone la realización de algunas restas en las que tienen en común nuevamente al número 9, pero ahora como sustraendo. En esta secuencia de actividades, no es casual que la primera sea de sumas y la siguiente, de restas, sino que es algo planificado. El propósito de esta decisión radica en que una vez que los estudiantes se hayan enfrentado a la situación de la actividad 1, ya tendrán más elementos para abordar la actividad 2. Es por eso que Luis, en esta actividad, menciona que es más fácil hacer las restas que las sumas anteriores. En parte, esta facilidad tiene que ver con que maneja elementos trabajados en la actividad anterior, como la composición y descomposición del 10 como estrategia. Para este caso, se ven invertidas algunas de las estrategias que se utilizaron anteriormente, como, por ejemplo:

Restar 10 al minuendo y luego sumar 1 al número obtenido.

Sumar 1 al minuendo y luego al número obtenido restarle 10.

La tercera actividad invita a realizar una extensión de las generalizaciones que se han abordado en las actividades anteriores. En este sentido, el salto está en que las estrategias utilizadas para sumar o restar 9 a un número se vean afectadas y transformadas para ahora sumar o restar 99. Esta extensión puede provocar la ampliación del rango de la regla y la realización de algunas preguntas:

• ¿Sucederá lo mismo al sumar o restar 999 a un número?
• ¿Será la misma regla para sumar o restar 89 a un número?
• ¿Y si se quiere sumar o restar 11 a un número?
• ¿Y si se quiere sumar o restar 101 a un número?

En estos casos, será interesante profundizar en ellas para generar nuevas reglas que darán lugar a nuevas estrategias y, por lo tanto, nuevas generalizaciones.

Algunas ideas y propuestas para el segundo ciclo

La propuesta para segundo ciclo implica el trabajo con multiplicaciones, a diferencia de las actividades de primer ciclo. Es importante destacar que las operaciones que se proponen en la tabla pueden ser llevadas a cabo con el uso de la calculadora o con el algoritmo convencional de la multiplicación, o por cálculo pensado, pues el objetivo de esta actividad se sitúa en el análisis de la comparación de las operaciones con sus respectivos resultados.

Producción de una alumna de quinto año:

«Si sumas la primera columna con la columna de x 9, te da la columna de x 10, y lo mismo pasa para las otras columnas».

En la producción de esta alumna, podemos observar que la respuesta que brinda a la pregunta que se plantea alude a una identificación sobre los resultados.

Lo que la alumna ve es que: 7 + 63 = 70, 13 + 117 = 130, 25 + 225 = 250 y 32 + 288 = 320.

Es interesante destacar que la producción refiere a una generalización. En este caso, está formulada especialmente para la regularidad que se observa en esa tabla. Es deseable que en la clase se busquen las razones por las cuales sucede esto que describe la alumna. Para esto, existe evidencia en la tabla que ayuda a desentrañar los argumentos usados.

Observemos que:

7 + 63 = 70
7 + 7 x 9 = 7 x 10

Afinando la mirada:

7 + 7 x 9 = 7 x 10
7 x 1 + 7 x 9 = 7 x 10

Se observa que el factor se repite, el factor común es 7 y lo podemos escribir así:

7 x (1 + 9) = 7 x 10

En otras palabras, la diferencia que hay entre el resultado de hacer 7 x 10 y el resultado de hacer 7 x 9 es de 7. Es interesante destacar que hay un ida y vuelta a atender: si sumo 7, obtengo el 7 x 10, y si resto 7 obtengo 7 x 9. Lo mismo sucede, respectivamente, para el resto de los números de las filas siguientes. Validar la regularidad planteada por la alumna para el resto de los números de las filas siguientes forma parte de un trabajo que abona una prueba matemática intelectual, e implícitamente se están trabajando varias propiedades de los números Naturales. La idea no es que se produzcan las mismas escrituras propuestas más arriba, sino que se puedan identificar y comunicar por escrito de alguna forma, por ejemplo, en lenguaje natural, como lo expresamos en este párrafo.

Posibles generalizaciones que pueden aparecer:

«Si un número se multiplica por 9, es lo mismo que multiplicarlo por 10 y restarle una vez ese mismo número».

«Si en una multiplicación uno de los factores es 9, para resolverla fácil se puede multiplicar por 10 y restarle la cantidad del otro factor».

Podemos proyectar una actividad que prosiga a esta, para pensar en los alcances de la regla y extenderla para otros casos, por ejemplo, ideando una nueva tabla que proponga multiplicaciones x 11 y x 101.

Con cuidado...

Muchas veces, al ir construyendo algunas generalizaciones, reglas, etc., pensamos de manera inductiva, sin analizar finamente lo que sucede. Analizar las condiciones bajo las cuales se ha construido esa generalización es indispensable. Aquí entran en juego también algunas de las reglas del debate matemático. En particular, la que refiere a que con un contraejemplo es suficiente para probar que una proposición es falsa.

Entonces, ¿la regla siempre puede extenderse al cambiar de operación? Vamos a localizar esta idea con un ejemplo. Podríamos preguntar si estas reglas construidas para la adición, la sustracción y la multiplicación se podrán extender a la división. Es decir, ¿podríamos efectuar la división por 9 de manera de realizar la división del dividendo primero por 10 y restar al resultado de la división entre el dividendo por 1?

Por ejemplo, para realizar 639 : 9 será válido pensar al 9 como 10 - 1 y dividir sucesivamente el dividendo entre 10 y luego entre 1. Siguiendo el mismo razonamiento, se podrá plantear:

Otros ejemplos de los CHM para apoyarnos en este trayecto

Hasta ahora